Взаимное расположение сферы и плоскости

Обозначения

$d=OA$ - расстояние до плоскости $r$ - радиус сферы

Случаи взаимного расположения

1. $d<R$: По теореме Пифагора $AM=\sqrt{O{M}^2-O{A}^2}=\sqrt{R^2-d^2}$, т.е. любая общая точка сферы и плоскости будет лежать на окружности с центром $A$ и радиусом $AM=r=\sqrt{R^2-d^2}$
   • Верно и обратное: $OM=R=\sqrt{A{M}^2+O{A}^2}=\sqrt{R^2-d^2+d^2}$
   • Т.е. если расстояние $d<R$, то сечение сферы плоскостью это окружность с радиусом $\sqrt{R^2-d^2}$
2. $d=R$: Точка $A$ лежит на сфере. А для любой точки $M$ лежащей на плоскости, выполняется равенство $OM>OA$, т.к. во всех случаях они являются наклонными. Если $OM>R$ всегда, то значит $M$ никогда не лежит на сфере, т.е. при d = R сфера и плоскость имеют только одну общую точку
3. d > R: при таком раскладе любая точка на плоскости будет вне сферы, т.е. сфера и плоскость не имеют общих точек