Объём шара

Формулировка

Объём шара радиуса R равен $\frac{4}{3}\pi R^3$

Доказательство

1. Пусть шар имеет радиус $R$ с центром $O$ и ось $Ox$ имеет начало в центре
2. Проведём сечение шара плоскостью, перпендикулярное к $Ox$ и пересекающиеся с осью в точке $M$. Обозначим радиус этого сечения как $r$, а его площадь как функцию $S(x)$, где $x$ - координата точки $M$
3. Выразим $S(x)$ через $x$ и $R$. Из прямоугольного треугольника $OMC$:
   1. $r=\sqrt{O{C}^2-O{M}_2}=\sqrt{R^2-x^2}$
4. Т.к. $S(x)=\pi r^2$, то $S(x)=\pi (R^2-x^2)$
5. Берём интеграл по функции $S(x)$ $V={\int }_{-R}^R\pi (R^2-x^2)dx=\pi R^2{\int }_{-R}^{R}dx-\pi {\int }_{-R}^R{x}^{2}dx=\pi R^2\cdot x{|}_{-R}^R-\frac{\pi x^3}{3}{|}_{-R}^R=\frac{4}{3}\pi R^3$