Объём конуса

Формулировка

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$

Доказательство

я задолбался писать заголовки

1. Пусть у конуса площадь основания $=S$, а высота $=h$
2. Проведём ось $Ox$ из вершины конуса перпендикулярно основанию
3. Проведём сечение перпендикулярно $Ox$, то есть параллельно основанию
   1. Точкой пересечения оси и сечения назовём $M_1$, а оси и основаниям $M$
   2. Обозначим радиус сечения как $R_1$
   3. Обозначим площадь сечения как $S(x)$, где $x$ - координата точки $M_1$
4. Из подобия треугольников $△O{M}_1{A}_1\sim OMA$ следует, что $\frac{O{M}_1}{OM}=\frac{R_1}{R}=\frac{x}{h}\to R_1=\frac{R}{h}x$
5. Т.к. $S(x)=\pi R_1^2$, то $S(x)=\frac{\pi R^2}{h^2}{x}^2$
6. Берём от функции $S(x)$ интеграл, получаем $V={\int }_0^h\frac{\pi R^2}{h^2}{x}^{2}dx=\frac{\pi R^2}{h^2}{\int }_0^h{x}^{2}dx=\frac{\pi R^2}{h^2}\frac{x^3}{2}{|}_0^h=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$