Площадь поверхности конуса

Формула

$S=\pi r(l+r)$

$l$ - Образующая конуса $r$ - Радиус основания

Вывод

1. “Разрезаем” боковую поверхность цилиндра по образующей, чтобы получить развёртку боковой поверхности
2. Развёртка боковой поверхности является круговым сектором, с радиусом, равным образующей конуса, а длинна дуги сектора равна длине окружности основания конуса
3. Площадь кругового сектора равна $S_{бок}=\frac{\pi l^2}{360}\alpha$, где $\alpha$ - градусная мера дуги $AB{A}^{\prime }$ (угла вершины, опирающемся на диаметр основания)
4. Выразим $\alpha$ через $l$ и $r$.
   1. Длина дуги $AB{A}^{\prime }$ равна длине окружности основания, поэтому $2\pi r=\frac{2\pi l}{360}\alpha \to \alpha =\frac{360r}{l}$
5. Подставляем $\alpha$ в (3), получаем, что $S_{бок}=\pi rl$
6. Складываем $S_{бок}$ и $S_{осн}$ и получаем $S_{кон}=\pi r(l+r)$