Формулировка

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} h$

Доказательство

Для треугольной призмы

Сопроводительная картинка

Пусть треугольная призма имеет объём $V$ , площадь основания $S$ и высоту $h$
Направим из точки $O$ перпендикулярно основанию ось $O x$
Рассмотрим сечение призмы, перпендикулярное оси $O x$ , то есть параллельное основанию.
1. Обозначим точкой $x$ координату точки пересечения сечения и оси $O x$
2. Обозначим площадь сечения функцией $S (x)$
3. $A A_{1} C_{1} C$ - параллелограмм, т.к. рёбра $A A_{1} = C C_{1}$ и $A A_{1} ∥ C C_{1}$ , значит $A_{1} C_{1} = A C$ . Аналогично доказывается равенство всех остальных сторон основания и сечения
Если сечение и основание равны, значит $S (x) = S$
Применяем основную формулу для вычисления объёма через интеграл: $V = \int_{0}^{h} S (x) d x = \int_{0}^{h} S d x = S \int_{0}^{h} d x = S \cdot x ∣_{0}^{h} = S h$

Произвольную призму можно разбить на несколько треугольных призм с общей высотой $h$
Выразим объем произвольной призмы как сумму объёмов треугольных призм по выведенной формуле
Вынеся общий множитель $h$ и сложив все $S$ , получаем ровно ту же формулу: $V = S_{осн} h$

wazsxecdrvftbgynhumjk,l;.