Касательная плоскость к сфере

Определение

• Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку называется касательной плоскостью к сфере
  • Их единственная общая точка называется точкой касания

Свойство касательной плоскости

Формулировка

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости

Доказательство

1. Рассмотрим плоскость $\alpha$, касающуюся сферы с центром $O$ в точке $A$.
2. Если $OA\text{ не }\perp \alpha$, то значит $OA$ - наклонная к $\alpha$, т.е. расстояние от центра сферы до плоскости $\alpha$ меньше радиуса сферы
3. Значит $\alpha$ и сфера пересекаются по окружности. *Но это противоречит определению касательной плоскости, гласящему, что у касательной плоскости и сферы только одна точка пересечения *

Признак касательной плоскости

Формулировка

Если радиус сферы перпендикуляре к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере

Доказательство

1. Данный радиус является перпендикуляром к плоскости, т.е. расстоянием до плоскости
2. То есть расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, т.е. по взаимному расположению сферы и плоскости сфера и плоскость имеют ровно одну общую точку, что удовлетворяет определению касательной плоскости