Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту $V=S_{осн}h$

Доказательство

1. Впишем в цилиндр P радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму $P_n$
2. Площадь $S_n$ основания этой призмы выражается как $S_n=nr\sin \frac{180°}{n}\cos \frac{180°}{n}$
3. Опишем призму $Q_n$ около P.
4. Тогда площадь основания равна $nr\tan \frac{180°}{n}r=\frac{S_n}{{\cos }^2\frac{180°}{n}}$
5. Поскольку цилиндр P содержит в себе призму $P_n$, а призма $Q_n$ содержит в себе цилиндр, то их объёмы относятся так: $S_n\ast h<V_P<\frac{S_n}{{\cos }^2\frac{180°}{n}}\ast h$
6. При неограниченном увеличении $n\to \infty \cos \frac{180°}{n}=1$, а $S_n=\pi r^2$
7. Получается, что левая и правая часть стремятся к $\pi r^{2}h$
8. Значит $V=\pi r^{2}h$, а $\pi r^2$ это и есть площадь основания призмы, то есть $V=S_{осн}h$