Объём пирамиды

Формулировка

Объём площади пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

$V=\frac{1}{3}{S}_{осн}h$

Доказательство

Картинка волыдфов

Для треугольной пирамиды

1. Пусть у пирамиды площадь основания $=S$, а высота $=h$
2. Проведём ось $Ox$ и рассмотрим сечение $A_1{B}_1{C}_1\perp Ox$, то есть $ABC\parallel A_1{B}_1{C}_1$
3. Обозначим через $x$ координату точки пересечения плоскости $A_1{B}_1{C}_1$ и $Ox$
4. Обозначим, что $S(x)$ - площадь сечения
5. Заметим, что $A_1{B}_1{C}_1\sim ABC$, т.к.:
   1. $A_1{B}_1\parallel AB$ по построению
   2. $△O{A}_1{B}_1\sim △OAB$ по двум углам
6. Значит, из подобия, $\frac{A_1{B}_1}{AB}=\frac{O{A}_1}{OA}$
7. Так же подобны треугольники $△O{A}_1{M}_1\sim △OAM$, поэтому $\frac{O{A}_1}{OA}=\frac{O{M}_1}{OM}=\frac{x}{h}$
   1. То есть, приравнивая $(7)$ и $(6)$ получаем, что $\frac{A_1{B}_1}{AB}=\frac{x}{h}$
8. Повторяя шаги $(5)-(7)$ получаем, что $\frac{A_1{B}_1}{AB}=\frac{B_1{C}_1}{BC}=\frac{A_1{C}_1}{AC}=\frac{x}{h}$
9. Итак, коэффициент подобия треугольников $A_1{B}_1{C}_1\sim ABC$ равен $k=\frac{x}{h}$, значит $\frac{S(x)}{S}=(\frac{x}{h}{)}^2\to S(x)=\frac{S}{h^2}{x}^2$
10. Пользуясь формулой для вычисления объёмов тел получаем $V={\int }_0^{h}S(x)dx={\int }_0^h\frac{S}{h^2}{x}^{2}dx=\frac{S}{h^2}{\int }_0^h{x}^{2}dx=\frac{S}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}{|}_0^h=\frac{1}{3}Sh$

Для произвольной призмы

• Произвольную пирамиду можно разбить на несколько пирамид с общей высотой $h$ и основаниями, которые в сумме достигнут $S_{осн}$
• Вынося за общий множитель $\frac{1}{3}h$ и складывая все $S$ получаем всю ту же формулу $\frac{1}{3}Sh$