Площадь поверхности усечённого конуса

Формула

$S_{бок}+S_R+S_r=\pi (R+r)l+\pi R^2+\pi r^2$

$l$ - Образующая усечённого конуса $R$ - Больший радиус основания $r$ - Меньший радиус основания

Вывод

Сопроводительная картинка

1. Площадь боковой поверхности можно рассчитать как разность конуса с большим радиусом и меньшего $S=\pi R\cdot PA-\pi r\cdot P{A}_1=\pi R(P{A}_1+A{A}_{1)}-\pi r\cdot P{A}_1$
2. Учтём, что $A{A}_1=l$. Тогда $S_{бок}=\pi Rl+\pi (R-r)P{A}_1$
3. Выразим $P{A}_1$ через $l,R,r$
   1. Прямоугольные треугольники $△P{O}_1{A}_1$ и $△POA$ подобны по общему углу $\angle P$, поэтому $\frac{P{A}_1}{PA}=\frac{r}{R}$ или $\frac{P{A}_1}{P{A}_1+l}=\frac{r}{R}$
4. Преобразуем $(3)$, получаем, что $P{A}_1=\frac{lr}{R-r}$
5. Подставив $(4)\text{ в }(2)$ получаем $S_{бок}=\pi Rl+\pi (R-r)\frac{lr}{R-r}=\pi Rl+\pi lr=\pi (R+r)l$
6. Складываем $S_{бок}$ и $S_{осн}$, получаем $S_{бок}+S_R+S_r=\pi (R+r)l+\pi R^2+\pi r^2$